Dreptunghiul

PARALELOGRAMUL

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.

                                           

Propietăți:

Laturile opuse sunt congruente două câte două

Unghiurile opuse sunt congruente iar cele alăturate sunt suplementare (suma lor este egală cu 180 grade).

Diagonalele sale se taie în segmente congruente (se „înjumătățesc”).

Aria A a unui paralelogram este A=b•h, unde b este lungimea unei laturi iar h este înălțimea corespunzătoare acestei laturi.

Aria unui paralelogram este egală cu dublul ariei triunghiului format de două laturi alăturate și diagonala opusă acestora.

Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimile a două laturi alăturate și sinusul unuia dintre unghiurile paralelogramului.

Teoreme reciproce:

Dacă într-un patrulater convex laturile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Dacă într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Dacă într-un patrulater convex diagonalele au același mijloc, atunci patrulaterul este paralelogram.

DREPTUNGHIUL

Dreptunghiul reprezintă un paralelogram având un unghi drept. În consecință și celelalte unghiuri ale paralelogramului respectiv sunt drepte.

Propietăți:

• laturile opuse sunt paralele și congruente;
• diagonalele sunt congruente;
• unghiurile sunt congruente și au măsura de 90 de grade;
• latura mai mare se numește lungime (L), iar cea mai mică, lățime (l);
• aria este egală cu produsul dintre lungime și lățime: A = L • l;
• aria este de patru ori mai mare decât aria triunghiului format de o latură și cele două diagonale;
• perimetrul dreptunghiului este egal cu dublul sumei dintre lungime și lățime: P = 2 • (L+l);
• pătratul reprezintă un caz particular de dreptunghi, în care lungimea și lățimea sunt egale.

PROBLEME 

1) Fie ABC un triunghi dreptunghic în A şi [AD] înălţime. Paralelele prin D la AB şi AC intersectează dreptele AC şi AB in M şi respectiv N. Ce fel de patrulater este AMDN?

2) ABCD este un dreptunghi şi AC∩BD={O}. [AM] şi [DQ] sunt înălţimile

triunghiului AOD iar [BN] şi [CP] sunt înălţimile triunghiului BOC. Stabiliţi natura patrulaterului cu varfurile în M, N, P şi Q.

3) ABC este un triunghi dreptunghic în A iar M∈(AB), N∈(AC) astfel incât  <AMN≡<ACB şi O∈(MN) astfel încât OA=OP iar [AP] este înălțime, P∈(BC). Care este natura patrulaterului AMPN?

4) ABCD este un dreptunghi în care DC=6 cm. Fie E∈(AB) şi F∈(AB) astfel încât  AE=EF=FB şi DE∩CF={M}. Calculaţi perimetrul triunghiului DMC știind că DE= 4cm.

5) În dreptunghiul ABCD, M este mijlocul laturii [DC]. Fie {P}=AM∩BC. Ştiind că DM=4 cm şi BP= 8 cm calculaţi:

  a) aria triunghiului BMP;

  b) perimetrul dreptunghiului ABCD ;

  c) aria triunghiului ABM.

6) În dreptunghiul ABCD, AC∩BD=O, AB=8 cm, BC=6 cm şi AO=5 cm.

  a) Aflaţi perimetrul dreptunghiului ABCD.

  b) Aflaţi perimetrul triunghiului BOC;

  c) Dacă M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA] stabiliţi natura patrulaterului MNPQ şi aflaţi perimetrul său.

7) În dreptunghiul ABCD, AC∩BD=O, m(<OBC)=30° şi perimetrul triunghiului OAB este de 27 cm.

  a) Aflaţi măsura unghiului <OAB;

  b) Aflaţi lungimea segmentului [BD].

8) Fie ABCD un dreptunghi în căre BD=12 cm şi m(<DOC)=120°, unde AC∩BD={O}, calculaţi lungimea laturii [BC].

9) Un dreptunghi are lungimea de 32 cm şi lăţimea de 18 cm. Un romb echivalent cu el are înălţimea de 12 cm. Calculaţi perimetrul rombului.

10) ABC şi ACD sunt triunghiuri dreptunghice in B şi respective D. (B şi D sunt de o parte şi de alta a lui AC). Stabiliţi natura patrulaterului ABCD în cazul în care [AB]≡[CD].

11) ABCD este un patrulater la care m(<BAC)=m(<BDC)=90°. O este mijlocul laturi BC. Calculaţi perimetrul triunghiului AOD știind că AD=5 cm şi BC=8 cm.